Mathématiques de base Exemples

sin (\frac{π}{2} + θ) = - tan (θ)

$\sin (\frac{π}{2} + θ) = - \tan (θ)$

Étape 1

Utilisez la formule de la somme pour le sinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que

sin (A + B) = sin (A) cos (B) + cos (A) sin (B)

$\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = - tan (θ)

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ)

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

La valeur exacte de

sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ est

1

$1$ .

1 cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = - tan (θ)

$1 \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Étape 2.1.1.2

Multipliez

cos (θ)

$\cos (θ)$ par

1

$1$ .

cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Étape 2.1.1.3

La valeur exacte de

cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ est

0

$0$ .

cos (θ) + 0 sin (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) + 0 \sin (θ) = - \tan (θ)$

Étape 2.1.1.4

Multipliez

0

$0$ par

sin (θ)

$\sin (θ)$ .

cos (θ) + 0 = - tan (θ)

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

cos (θ) + 0 = - tan (θ)

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

Étape 2.1.2

Additionnez

cos (θ)

$\cos (θ)$ et

0

$0$ .

cos (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

cos (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

cos (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

Réécrivez

tan (θ)

$\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

cos (θ) = - \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

cos (θ) = - \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par

cos (θ)

$\cos (θ)$ .

cos (θ) cos (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Étape 5

Multipliez

cos (θ) cos (θ)

$\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 5.1

Élevez

cos (θ)

$\cos (θ)$ à la puissance

1

$1$ .

{cos}^{1} (θ) cos (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Étape 5.2

Élevez

cos (θ)

$\cos (θ)$ à la puissance

1

$1$ .

{cos}^{1} (θ) {cos}^{1} (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

{cos (θ)}^{1 + 1} = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

${\cos (θ)}^{1 + 1} = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Étape 5.4

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

{cos}^{2} (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

{cos}^{2} (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Étape 6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

{cos}^{2} (θ) = - cos (θ) \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos^{2} (θ) = - \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de

cos (θ)

$\cos (θ)$ .

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Étape 7.1

Factorisez

cos (θ)

$\cos (θ)$ à partir de

- cos (θ)

$- \cos (θ)$ .

{cos}^{2} (θ) = cos (θ) \cdot - 1 \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (θ) = - \sin (θ)$

Étape 8

Ajoutez

$\sin (θ)$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Étape 9

Remplacez

$\cos^{2} (θ)$ par

$1 - \sin^{2} (θ)$ .

$(1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

Étape 10

Résolvez

$θ$ .

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Étape 10.1

Remplacez

$\sin (θ)$ par

$u$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

Étape 10.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10.3

Remplacez les valeurs

$a = - 1$ ,

$b = 1$ et

$c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 10.4.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Étape 10.4.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 10.4.1.2.2

Multipliez

$4$ par

$1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 10.4.1.3

Additionnez

$1$ et

$4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 10.4.2

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 10.4.3

Simplifiez

$\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 10.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 10.6

Remplacez

$u$ par

$\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 10.7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour

$θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 10.8

Résolvez

$θ$ dans

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

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Étape 10.8.1

La plage du sinus est

$- 1 \leq y \leq 1$ . Comme

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 10.9

Résolvez

$θ$ dans

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Étape 10.9.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Étape 10.9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.9.2.1

Évaluez

$\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$θ = - 0.66623943$

Étape 10.9.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

$π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Étape 10.9.4

Résolvez

$θ$ .

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Étape 10.9.4.1

Supprimez les parenthèses.

$θ = 3.14159265 + 0.66623943$

Étape 10.9.4.2

Supprimez les parenthèses.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Étape 10.9.4.3

Additionnez

$3.14159265$ et

$0.66623943$ .

$θ = 3.80783208$

Étape 10.9.5

Déterminez la période de

$\sin (θ)$ .

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Étape 10.9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.9.5.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.9.5.4

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Étape 10.9.6

Ajoutez

$2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 10.9.6.1

Ajoutez

$2 π$ à

$- 0.66623943$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.66623943 + 2 π$

Étape 10.9.6.2

Soustrayez

$0.66623943$ de

$2 π$ .

$5.61694587$

Étape 10.9.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 5.61694587$

Étape 10.9.7

La période de la fonction

$\sin (θ)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 10.10

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , pour tout entier

$n$